Ce sunt fractalii?

Teoria fractalilor face parte din asa-numita teorie a complexitatii, careia ii apartin si teoria haosului, teoria structurilor disipative, teoria catastrofelor etc.

Dar ce este un fractal? Este un corp cu o forma neregulata, ce poate fi fragmentat, fragmentele sale asemanandu-se intregului. Denumirea de fractal apartine matematicianului de origine franceza Benoit Mandelbrot (nascut in 1924), inventatorul celebrului „mar matematic”, construit cu ajutorul computerului, care-i poarta numele.

In natura, sunt considerati fractali muntii presarati cu stanci colturoase, corola unui arbore sau radacinile acestuia raspandite in sol in toate directiile, norii al caror contur se modifica permanent, reteaua hidrografica, valurile marii, reteaua de vase sanguine, un fulg de zapada; chiar si Universul sau parti ale sale, avand o structura neregulata, pot fi considerate fractali. Caracteristicile fractalilor vin in contrast cu ordinea din geometria euclidiana si cu perfectiunea cristalelor din lumea fizica.

Arborii si ferigile sunt fractali naturali care pot fi modelati usor pe calculator folosind un algoritm recursiv. Natura recursiva este evidenta în aceste exemple — o ramura a unui arbore sau o frunza a unei ferigi este o copie în miniatura a întregului: nu identice, dar similare. O alta planta la care se poate observa usor auto-similitudinea este conopida (sau broccoli).

In matematica, fractalul este un obiect a carui geometrie (dimensiuni) este data de fractii.
Triunghiul lui Sierpinski – se obtine pornind de la un triunghi si decupand recursiv triunghiul (central) format de mijloacele fiecarei laturi.
Fulgul de zapada al lui Koch – se obtine pornind de la un triunghi echilateral si se inlocuieste treimea din mijloc de pe fiecare latura cu doua segmente astfel incat sa se formeze un nou triunghi echilateral exterior. Apoi se executa aceiasi pasi pe fiecare segment de linie a formei rezultate, la infinit. La fiecare iteratie, perimetrul aceste figuri creste cu patru treimi. Fulgul Koch este rezultatul unui numar infinit de executii ale acestor pasi, si are lungime infinita, in timp ce aria sa ramane finita. De aceea Fulgul Koch si constructiile similare sunt numite uneori “curbe monstru“.

Alte exemple celebre de fractali sunt:
Multimea lui Mandelbrot, Multimea lui Cantor, Covorul lui Sierpinski, Curba dragon, Curba lui Peano, Multimea Julia etc.
Fractalii din natura nu par a respecta niste reguli anume. Spre deosebire de acestia, fractalii matematici se construiesc dupa anumite reguli. Se pleaca de la un obiect cunoscut (de exemplu, un segment de dreapta, un cerc, un contur poligonal regulat etc), considerat ca fiind „initiatorul” -si care, prin deformare, rupere etc, se transforma in altceva, dupa o lege de constructie oarecare (numita „generator”), operatia repetandu-se de un numar infinit de ori.

Figura din stanga explica modul in care se construieste fractalul numit curba lui Van Koch. Initiatorul este segmentul de dreapta AB. Prima etapa a generarii acestei curbe se face prin divizarea segmentului de dreapta AB in trei segmente egale, urmata de inlocuirea segmentului din mijloc cu laturile unui triunghi echilateral, a carui baza este eliminata. Se repeta operatia (a doua etapa): fiecare segment se imparte din nou in trei parti egale, si din nou, mijlocul fiecaruia se inlocuieste cu laturile unui triunghi echilateral caruia ii lipseste baza. Se repeta aceeasi operatie de n ori. Curba lui Van Koch corespunde trecerii la limita, cand n -> oo. Aceasta curba are niste proprietati remarcabile: este de lungime infinita, continua, dar nederivabila!

Fractalii si-au gasit aplicatii neasteptate in realizarea unor antene folosite in telecomunicatii (de exemplu: avand forma fractalului Van Koch triunghiular; sau patrat – de tip Minkowski), avand performante exceptionale: un factor de calitate ridicat, pe frecvente care nu sunt corelate armonic, si obtinerea unor frecvente de rezonanta cu valori mai mici decat cele corespunzatoare dimensiunilor geometrice. Aceasta permite miniaturizarea antenei pentru o anumita frecventa. Deja, asemenea antene miniaturizate sunt utilizate in echiparea actualelor telefoane celulare. De asemenea, fractalii si-au gasit utilizarea in grafica realizata cu ajutorul calculatorului, in crearea unor peisaje artificiale etc.

Fractalii si Teoria Haosului

Probabil ca ati auzit de “Efectul fluturelui“, care spune ca un fluture batand din aripi undeva in Europa poate declansa o tornada in Texas. De fapt asta afirma teoria haosului: mici modificari ale datelor initiale ale unui sistem complex pot conduce la stari finale ale sistemului foarte diferite.
O posibilitate importanta pentru a investiga sesibilitatea sistemelor haotice este de a le reprezenta comportamentul prin grafica pe computer. Aceste forme grafice rezultate apar sub forma unor fractali.

Utilitatea geometriei fractale in teoria haosului rezida in faptul ca obiectele nu mai sunt reduse la cateva forme perfect simetrice ca in geometria euclidiana – geometria fractala studiaza asimetria, asperitatea obiectelor, precum si structurile fractale din natura. In geometria fractala, norii nu mai sunt sfere, muntii nu mai sunt conuri, liniile de coasta nu mai sunt cercuri.

De fapt, asperitatea nu este numai o imperfectiune a unui lucru ideal, ci este chiar esenta multor obiecte naturale. Astfel, in timp ce geometria euclidiana servea ca limbaj descriptiv pentru mecanismele clasice de miscare, geometria fractala este folosita pentru studierea modelelor produse de haos.
In matematica, functiile fractale se comporta ca si sistemele haotice in care schimbari aleatoare asupra valorilor de pornire pot modifica valoarea functiei in moduri imprevizibile, in interiorul frontierelor sistemului. Faimoasa Multime Mandelbrot demonstreaza aceasta legatura dintre fractali si teoria haosului – dintr-o ecuatie matematica foarte simpla se produc rezultate foarte complexe.

Multimea Mandelbrot
Pentru a intelege fractalii, trebuie distinse acele proprietati fundamentale care nu se schimba de la un obiect studiat la altul. Prin studierea structurii fractale a sistemelor haotice, este posibil sa se determine punctele critice in care predictibilitatea unui sistem dispare.
Scopul geometriei fractale este acela de a oferi o metoda ingenioasa de cunoastere, prin care fenomene complexe pot fi explicate pornind de la niste reguli simple.

Fractalii in arta

Datorita frumusetii lor, fractalii sunt prelucrati de unii oameni in arta, colorati in manifestarile lor diferite si grupati in galerii de imagini fractale, pentru a ului si pentru a provoca imaginatia. De asemenea, fractalii mai pot fi utilizati pentru a modela cu precizie muzica produsa de diferiti compozitori. Fractalii se regasesc si in unele picturi, precum si in arta si arhitectura africana.
Generatori de fractali

Fractal generat
Oricine poate crea peisaje deosebite si imagini atragatoare cu ajutorul fractalilor, deoarece exista pe Internet o multime de programe software generatoare de fractali. Astfel, oricine poate genera fractali, neavand nevoie sa cunoasca notiuni matematice complexe – tot ce trebuie sa faca este sa modifice functia care genereaza fractalul si alti parametri, si sa selecteze niste culori. De asemenea, va puteti compune propria muzica fractala cu ajutorul unor programe software specializate.